Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 64
Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula.
Passo 1
Bom galera, nessa questão precisamos encontrar a função que descreve a posição da partícula, sabendo como é a função aceleração e conhecendo a posição da partícula no tempo e :
Como a questão fala de movimento, posição e aceleração, que tal relembrarmos de alguns conceitos físicos que serão úteis? Não se preocupa que não vai ser nada muito difícil.
- A função velocidade é a derivada da função posição :
- A função aceleração é a derivada da função velocidade . Opa, então ela é a segunda derivada da função posição :
Então, a funç��o posição é uma função que tem como derivada a função velocidade , e a função velocidade v é uma função que tem como derivada a função aceleração , certo?
Mas dizer isso é a mesma coisa que dizer que as funções e são as primitivas das funções e , respectivamente. Vamos encontrar essas primitivas? 😊
Faremos isso usando a Regra da Potência. Saca só como:
- A primitiva de uma potência é dada por
com uma constante qualquer, pois a derivada de (usando a Regra da Potência para derivadas) é:
O valor de só não poder ser , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?
Pronto! Agora temos tudo que precisamos para resolver essa questão🎉.
Bora colocar a mão na massa então!
Passo 2
Primeiro vamos calcular a primitiva da aceleração dada por:
Temos uma função polinomial, então usando a regra da potência para cada termo:
Simplificando os termos, e somando as constantes de forma a termos então
Para conferir se fizemos tudo certinho, vamos derivar a expressão obtida:
Dessa forma, confirmamos que a função encontrada é mesmo a primitiva de .
Passo 3
Agora, vamos calcular a primitiva da velocidade encontrada no passo anterior:
O processo será bem parecido ao do Passo 2, beleza? Pois também é uma função polinomial. Usando a regra da potência para cada um dos seus termos:
Simplificando os termos, e somando as constantes de forma a termos
então
Conferindo se não fizemos nenhuma besteira:
Opa! Encontramos a primitiva geral da função velocidade, pois observe que como e são constantes quaisquer, então temos várias funções satisfazendo
Mas qual dessas funções é a que queremos 🤔?
Espia só o próximo passo!
Passo 4
Descobrimos no passo anterior que
Pelo enunciado, sabemos que:
Vamos utilizar essas informações para encontrar um valor específico para as constantes e , e como consequência, a função que estamos procurando.
Aplicando a condição , temos
ou seja,
Aplicando agora a condição , considerando , temos
ou seja,
Fazendo as contas, concluímos que
Reescrevendo a função considerando os valores encontrados para as constantes, temos:
Resposta
A posição de uma partícula com aceleração dada por
e valendo
é dada pela função: