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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 41

Dois lados de um triângulo têm comprimento de 12 m e 15 m. O ângulo entre eles aumenta à taxa de 2 ° / m i n . Com que velocidade estará aumentando o terceiro lado quando o ângulo dos lados de comprimento fixo estiver em 60°?

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema!

Temos um triângulo com dois lados de comprimento 12   m e 15   m e o ângulo entre eles aumenta à taxa de 2 ° / m i n . Dito isso o enunciado pede pra a gente calcular com que velocidade estará aumentando o terceiro lado quando o ângulo dos lados de comprimento fixo estiver em 60°.

Bora fazer um desenho pra ajudar a compreensão. Se chamarmos de θ , o ângulo entre os lados fixos e x o comprimento do terceiro lado. Temos:

O que temos aqui é:

d θ d t = 2 ° / m i n

E o que queremos é :

d x d t

Agora vamos relacionar esses dois carinhas!

Passo 2

Temos dois lados fixos e queremos relacionar o ângulo entre eles com o lado oposto a ele, então podemos usar a lei dos cossenos:

x 2 = 12 2 + 15 2 - 2 × 12 × 15 × cos ⁡ θ

x 2 = 369 - 360 cos ⁡ θ

Passo 3

Agora devemos derivar a equação em função do tempo t em minutos, usando derivada implícita, para obter a relação entre suas taxas:

2 x d x d t = - 360 ( - sen ⁡ θ ) d θ d t

d x d t = 180 sen ⁡ θ d θ d t x

Se x 2 = 369 - 360 cos ⁡ θ então x = 369 - 360 cos ⁡ θ , logo:

d x d t = 180 sen ⁡ θ × θ ' t 369 - 360 cos ⁡ θ

Passo 4

Devemos lembrar de converter sempre graus para radianos.

Se no momento em que θ = 60 ° = π / 3 , θ ' t = 2 ° / m i n = π 90 r a d / m i n e portanto:

d x d t = 180 sen ⁡ π 3 × π 90 369 - 360 cos ⁡ π 3

d x d t = π 7 21 = 0,3958034706

Logo, o comprimento do terceiro lado está variando a aproximadamente 0,4   m / m i n .

Resposta

O comprimento do terceiro lado está variando a aproximadamente 0,4   m / m i n .

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