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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 209b

Qual é o período das seguintes funções reais: b) f (x) = (1 - t g^2 2 x)/(1 + t g^2 2 x)

Passo 1

Podemos reescrever a expressão da nossa função usando a fórmula:

1 + t g^2 2 x = sec^2 2 x Logo, podemos escrever f ( x ) como: f (x) = (1 - t g^2 2 x)/(sec^2 2 x) = (1 - t g^2 2 x) * (1)/(sec^2 2 x)

Relembre que sec x = (1)/(cos x) , substituindo ficaremos assim:

(1 - t g^2 2 x) * cos^2 2 x

Além disso, vale lembrar que t g^2 x = (s e n^2 x)/(cos^2 x) , então:

(1 - (s e n^2 2 x)/(cos^2 2 x)) * cos^2 2 x = cos^2 2 x - s e n^2 2 x

A última fórmula que vamos ter que lembrar antes de estudar o período da nossa função é: cos 2 x = cos^2 x - s e n^2 x , fazendo a substituição devida, ficaremos dessa forma:

f (x) = cos^2 2 x - s e n^2 2 x = cos 4 x

Passo 2

Agora, basta relembrar que o período da função cosseno é dada por:

P (cos a x) = (2 pi)/(a)

No nosso caso, escreveremos:

P [(cos 4 x)/(2)] = (2 pi)/(4) = (pi)/(2)

Resposta

P e r í o d o (f (x)) = (pi)/(2)

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