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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 209c

Qual é o período das seguintes funções reais: c) h (x) = cos^6 x + s e n^6 x

Passo 1

Podemos reescrever a expressão da nossa função usando a fatoração de soma de cubos, lembrando que a^6 = (a^2)^3 . a^3 + b^3 = (a + b) * ( a^2 - a * b + b^2 )

Na nossa função teremos como a = cos^2 x e b = s e n^2 x , logo:

cos^6 x + s e n^6 x = (cos^2 x + s e n^2 x) * ( cos^4 x - cos^2 x * s e n^2 x + s e n^4 x )

Substituindo a relação fundamental da trigonometria cos^2 x + s e n^2 x = 1

(cos^2 x + s e n^2 x) * (cos^4 x - cos^2 x * s e n^2 x + s e n^4 x) = cos^4 x - cos^2 x * s e n^2 x + s e n^4 x

Passo 2

Nosso passo seguinte será reescrever a expressão da nossa função em algo mais fácil de se estudar. Neste caso, vamos usar a técnica de completar quadrados da seguinte forma:

(cos^2 x + s e n^2 x)^2 = cos^4 x + 2 * cos^2 x * s e n^2 x + s e n^4 x

Podemos perceber que a expressão acima é quase igual à da nossa função h ( x ) mas para ficar igual, nós precisamos retirar aquela parcela do meio, ou seja, podemos escrever a função como: h (x) = (cos^2 x + s e n^2 x)^2 - 2 * cos^2 x * s e n^2 x - cos^2 x * s e n^2 x

Mais uma vez substituindo a relação FUNDAMENTAL da trigonometria cos^2 x + s e n^2 x = 1

h (x) = 1 - 3 * cos^2 x * s e n^2 x

Passo 3

Agora vamos nos lembrar da fórmula: s e n 2 a = 2 * s e n a * cos a , elevando os dois lados ao quadrado:

s e n^2 2 a = 4 * s e n^2 a * cos^2 a - (3)/(4) s e n^2 2 x = - 3 s e n^2 a * cos^2 a

Então vamos substituir na nossa função e ficaremos com: h (x) = 1 - (3)/(4) s e n^2 2 x

Passo 4

Vamos relembrar a última fórmula para resolver a questão: cos 2 a = 1 - 2 * s e n^2 a (1 - cos 2 a)/(2) = s e n^2 a

Substituindo na nossa expressão com a = 2 x , ficaremos com: h (x) = 1 - (3)/(4) * ((1 - cos 4 x)/(2)) = (5)/(8) + (3)/(8) * cos 4 x

Passo 5

Agora que nossa função já é uma função simples de se descobrir o período, vamos nos lembrar que o período de uma função trigonométrica é (2 pi)/(a) , então podemos dizer que P e r í o d o (h ( x )) = (2 pi)/(4) = (pi)/(2)

Resposta

P e r í o d o (h ( x )) = (2 pi)/(4) = (pi)/(2)

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