Qual é o período das seguintes funções reais: c) h(x) = cos^6(x) + sen^6(x) \* x

Passo 1

Podemos reescrever a expressão da nossa função usando a fatoração de soma de cubos, lembrando que a 6 = a 2 3 . a 3 + b 3 = a + b ⋅ ( a 2 - a ⋅ b + b 2 )

Na nossa função teremos como a = cos 2 ⁡ x   e   b = s e n 2 x , logo:

cos 6 ⁡ x + s e n 6   x = cos 2 ⁡ x + s e n 2 x ⋅ ( cos 4 ⁡ x - cos 2 ⁡ x ⋅ s e n 2 x + s e n 4 x )

Substituindo a relação fundamental da trigonometria cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1

cos 2 ⁡ x + s e n 2 x ⋅ cos 4 ⁡ x - cos 2 ⁡ x ⋅ s e n 2 x + s e n 4 x = cos 4 ⁡ x - cos 2 ⁡ x ⋅ s e n 2 x + s e n 4 x

Passo 2

Nosso passo seguinte será reescrever a expressão da nossa função em algo mais fácil de se estudar. Neste caso, vamos usar a técnica de completar quadrados da seguinte forma:

cos 2 ⁡ x + s e n 2     x 2 = cos 4 ⁡ x + 2 ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ s e n 2 x + s e n 4 x

Podemos perceber que a expressão acima é quase igual à da nossa função h ( x ) mas para ficar igual, nós precisamos retirar aquela parcela do meio, ou seja, podemos escrever a função como: h x = cos 2 ⁡ x + s e n 2     x 2 - 2 ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ s e n 2 x - cos 2 ⁡ x ⋅ s e n 2 x

Mais uma vez substituindo a relação FUNDAMENTAL da trigonometria cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1

h x = 1 - 3 ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ s e n 2 x

Passo 3

Agora vamos nos lembrar da fórmula: s e n   2 a = 2 ⋅ s e n   a ⋅ cos ⁡ a , elevando os dois lados ao quadrado:

s e n 2   2 a = 4 ⋅ s e n 2 a ⋅ cos 2 ⁡ a - 3 4 s e n 2   2 x = - 3   s e n 2 a ⋅ cos 2 ⁡ a

Então vamos substituir na nossa função e ficaremos com: h x = 1 - 3 4 s e n 2   2 x

Passo 4

Vamos relembrar a última fórmula para resolver a questão: cos ⁡ 2 a = 1 - 2 ⋅ s e n 2 a 1 - cos ⁡ 2 a 2 = s e n 2 a

Substituindo na nossa expressão com a = 2 x , ficaremos com: h x = 1 - 3 4 ⋅ 1 - cos ⁡ 4 x 2 = 5 8 + 3 8 ⋅ cos ⁡ 4 x

Passo 5

Agora que nossa função já é uma função simples de se descobrir o período, vamos nos lembrar que o período de uma função trigonométrica é 2 π a , então podemos dizer que P e r í o d o   h ( x ) = 2 π 4 = π 2

Resposta

P e r í o d o   h ( x ) = 2 π 4 = π 2

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