Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 19
Um peso de atado a uma mola está em movimento harmônico simples. Determine a equação de movimento se a constante da mola for e o peso for solto abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de para baixo, Expresse a solução na forma .
Passo 1
Então galera, assim como vimos na seção em questão a equação diferencial que decreve um movimento harmônico simples ou um movimento livre sem amortecimento, é a seguinte:
O que precisamos fazer aqui é escrever uma equação diferencial com os dados cedidos pelo enunciado. O enunciado nos diz que e , logo:
Resolvendo essa equação, teremos:
O que nos dá:
Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:
No qual é a constante que acompanha . Sendo assim, temos que nossa solução geral será:
Show!
Passo 2
Agora precisamos determinar o valor das constantes e , certo? Para isso vamos utilizar as condições iniciais que o enunciado deu, saca só:
Aplicando a primeira condição, teremos:
Agora aplicando a segunda condição, teremos:
Logo a equação do movimento será:
Top!
Passo 3
O enunciado quer que escrevamos a equação nesse formato aqui ó:
No qual:
E é um ângulo de fase definido por:
Encontrando :
Agora encontrando :
Logo a expressão no formato 8 será:
E está aí, galera! 😉