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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.9 - Ex. 10

Uma pessoa deseja comprar um imóvel com financiamento de R $   100.000,00 para ser pago em 30 anos. Qual o pagamento mensal necessário se a taxa de juros anual é (a) 9 % , (b) 10 % , (c) 12 % ?

Passo 1

Nesse exercício, vamos analisar os dados que o enunciado nos dá e tentar montar uma equação diferencial para o problema descrito. Após isso resolveremos o problema para encontrar qual é o maior valor de pagamento possível para o empréstimo desejado.

Passo 2

  1. Vamos lá! Primeiramente vamos chamar y n como o valor ao fim de n -ésimo mês. Dessa forma, temos que

    2. y n + 1 = 1 + r 12 ⋅ y n - P

    Onde r é nossa taxa de juros e P é o pagamento mensal. Relsolvendo essa equação diferencial, vamos chegar que nossa solução nos da

    y n = 1 + r 12 n ⋅ y 0 + P 1 - 1 + r 12 - P 1 - 1 + r 12

    Onde y 0 é nosso valor de balanço inicial e definido como y 0 = R $ 100.000,00 . No fim de 30 anos, teremos que n = 3 0 ⋅ 12 = 36 0 (30 anos) e que r = 0,09 . Queremos saber o nosso P para o maior empréstimo possível, com y 36 0 = 0 . Assim, substituindo na equação, chegaremos que

    y 36 0 = 0 = 1 + 0,09 12 36 0 ⋅ 100.000 + P 1 - 1 + 0 , 09 12 + P 1 - 1 + 0,09 12 = R $ 804,62 / m ê s .

    Passo 3

  2. Para r = 0,1 , teremos que:

    3. y 360 = 0 = 1 + 0,1 12 360 ⋅ 100.000 + P 1 - 1 + 0 , 1 12 + P 1 - 1 + 0,1 12 = R $ 877,57 / m ê s

    Passo 4

  3. Para r = 0,1 2 , teremos que:

y 360 = 0 = 1 + 0,1 2 12 360 ⋅ 100.000 + P 1 - 1 + 0,1 2 12 + P 1 - 1 + 0,1 2 12 = R $ 1028,61 / m ê s

Resposta

P = R $ 804,62 / m ê s

P = R $ 877,57 / m ê s

P = R $ 1028,61 / m ê s

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