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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.9 - Ex. 12

Se a taxa de juros, em um financiamento de 20 anos, permanece fixa em 10 % e se um pagamento mensal de R $   1.000,00 é o máximo que o comprador pode pagar, qual é o empréstimo máximo que pode ser feito sob essas condições?

Passo 1

Nesse exercício, vamos analisar os dados que o enunciado nos dá e tentar montar uma equação diferencial para o problema descrito. Após isso resolveremos o problema para encontrar qual é o maior valor de empréstimo possível com o pagamento fornecido.

Passo 2

Vamos lá! Primeiramente vamos chamar y n como o valor ao fim de n -ésimo mês. Dessa forma, temos que

y n + 1 = 1 + r 12 ⋅ y n - P

Onde r é nossa taxa de juros e P é o pagamento mensal. Relsolvendo essa equação diferencial, vamos chegar que nossa solução nos da

y n = 1 + r 12 n ⋅ y 0 + P 1 - 1 + r 12 - P 1 - 1 + r 12

Onde y 0 é nosso valor de balanço inicial e definido como P = R $ 100 0 . No fim de 20 anos, teremos que n = 2 0 ⋅ 12 = 24 0 (20 anos) e que r = 0,1 . Queremos saber o nosso y 0 para o maior empréstimo possível, com y 240 = 0 . Assim, substituindo na equação, chegaremos que

y 240 = 0 = 1 + 0,1 12 240 ⋅ y 0 + 1000 1 - 1 + 0,1 12 + 1000 1 - 1 + 0,1 12 = R $ 103.624,62 .

Resposta

y 0 = R $ 103.624,62

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva a equação de diferenças dada em função de y 0 . y n + 1 =- 0,9 y n Descreva comportamento da solução quando n→∞
Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva a equação de diferenças dada em função de y 0 . y n + 1 = - 1 n + 1 y n Descreva comportamento da solução quando n→∞
Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva a equação de diferenças dada em função de y 0 . y n + 1 = n + 3 n + 1 y n Descreva comportamento da solução quando n→∞
A Equação de Diferenças Logística. Os problemas de 14 a 19 tratam da equação de diferenças (21) μ n + 1 = ρ ⋅ μ n ⋅ 1 - μ n .Para ρ = 3,2 , faça o gráfico ou calcule a solução da equação logística (21