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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.9 - Ex. 11

Uma pessoa recebe um financiamento de R $   100.000,00 para comprar um imóvel, com taxa de juros anuais de 9 % . Qual é o pagamento mensal necessário para quitar o empréstimo em 30 anos? E em 20 anos? Qual é a quantia total paga em cada um desses casos?

Passo 1

Nesse exercício, vamos analisar os dados que o enunciado nos dá e tentar montar uma equação diferencial para o problema descrito. Após isso resolveremos o problema para encontrar qual é o pagamento mensal para quitar divida em 20 e em 30 anos.

Passo 2

Vamos lá! Primeiramente vamos chamar y n como o valor ao fim de n -ésimo mês. Dessa forma, temos que

y n + 1 = 1 + r 12 ⋅ y n - P

Onde r é nossa taxa de juros e P é o pagamento mensal. Relsolvendo essa equação diferencial, vamos chegar que nossa solução nos da

y n = 1 + r 12 n ⋅ y 0 + P 1 - 1 + r 12 - P 1 - 1 + r 12

Onde y 0 é nosso valor de balanço inicial e definido como y 0 = R $ 100.000 . No fim de 30 anos, teremos que n = 30 ⋅ 12 = 360 (30 anos) e que r = 0,09 . Como queremos saber o nosso P para quitar a divida, temos que y 360 = 0 . Assim, substituindo na equação, chegaremos que

y 360 = 0 = 1 + 0,1 12 360 ⋅ 100.000 + P 1 - 1 + 0,09 12 + P 1 - 1 + 0,09 12 = R $ 804,62 / m ê s .

E o total pago será de R $ 289.663,2

Para n = 20 ⋅ 12 = 240 , teremos que:

y 240 = 0 = 1 + 0,1 12 240 ⋅ 100.000 + P 1 - 1 + 0,09 12 + P 1 - 1 + 0,09 12 = R $ 899,73 / m ê s

E o total pago será de R $ 215.935,20

Resposta

P 30 = R $ 804,62 / m ê s   → R $ 289.663,20

P 20 = R $ 899,73 / m ê s → R $ 215.935,20

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