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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.9 - Ex. 13

Uma pessoa gostaria de comprar um imóvel com financiamente de R $   95.000,00 , pagável em 20 anos. Qual é a maior taxa de juros que o comprador pode pagar se os pagamentos mensais não podem exceder R $   900,00 ?

Passo 1

Nesse exercício, vamos analisar os dados que o enunciado nos dá e tentar montar uma equação diferencial para o problema descrito. Após isso resolveremos o problema para encontrar qual é a maior taxa de juros possível com o pagamento fornecido.

Passo 2

Vamos lá! Primeiramente vamos chamar y n como o valor ao fim de n -ésimo mês. Dessa forma, temos que

y n + 1 = 1 + r 12 ⋅ y n - P

Onde r é nossa taxa de juros e P é o pagamento mensal. Relsolvendo essa equação diferencial, vamos chegar que nossa solução nos da

y n = 1 + r 12 n ⋅ y 0 + P 1 - 1 + r 12 - P 1 - 1 + r 12

Onde y 0 é nosso valor de balanço inicial e definido como P = R $   900,00 . No fim de 20 anos, teremos que n = 20 ⋅ 12 = 240 (20 anos) e que y 0 = R $   95.000,0 0 . Queremos saber o nosso r para descobrir a maior taxa de juros possível para esses dados iniciais, com y 240 = 0 . Assim, substituindo na equação, chegaremos que

y 240 = 0 = 1 + r 12 240 ⋅ 95.000 + 1000 1 - 1 + r 12 + 1000 1 - 1 + r 12 = 9,73 % .

Resposta

r = 9,73 %

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