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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.9 - Ex. 7

Encontre o rendimento efetivo anual de uma conta bancária que paga juros a uma taxa de 7 % ao ano, composta diariamente; ou seja, divida a diferença entre os saldos final e inicial pelo saldo inicial.

Passo 1

Nesse exercício, vamos analisar os dados que o enunciado nos dá e tentar montar uma equação diferencial para o problema descrito. Após isso resolveremos o problema para encontrar qual é o rendimento anual.

Passo 2

Vamos lá! Primeiramente vamos chamar y n como o valor ao fim de n -ésimo dia. Dessa forma, temos que

y n + 1 = 1 + r 365 ⋅ y n

Onde r é nossa taxa de juros. Relsolvendo essa equação diferencial, vamos chegar que nossa solução nos da

y n = 1 + r 365 n ⋅ y 0

Onde y 0 é nosso valor de balanço inicial. No fim de um ano, teremos que n = 365 e que r = 0,07 . Substituindo na equação, chegaremos que

y 365 = 1 + 0,07 365 365 ⋅ y 0 = 1,0725 ⋅ y 0

Assim, fazendo como dito no enunciado dividindo a diferença entre os saldos pelo saldo inicial, vamos ter que nosso ganho efetivo anual será de

1,0725 ⋅ y 0 - y 0 y 0 = 7,25 %

Resposta

7,25 %

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