Uma pipa a 50   m acima do solo move-se horizontalmente a uma velocidade de 2 m / s . A que taxa descrece o ângulo entre a linha e a horizontal depois de 100   m de linha serem soltos?

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Estamos soltando uma pipa e ela esta a 50   m do chão subindo horontalmente a uma velocidade de 2 m / s .

A nossa posição em relação a pipa é a seguinte:

Seja θ , o ângulo descrito entre a linha e o chão, y a distância horizontal que a pipa percorre e x o comprimento da linha solta.

Queremos:

θ ' t =   ? ? ?

Depois de 100   m de linha serem soltos.

Passo 2

A relação entre y e θ é:

tan ⁡ θ = 50 y

Derivando em função do tempo t em segundos, temos:

sec 2 ⁡ θ × θ ' t = - 50 y 2 × y ' t

θ ' t = - 50 y ' t y 2 sec 2 ⁡ θ

Passo 3

Quando 100 metros de linha são soltos, então x = 100 :

x 2 = y 2 + 50 2

100 2 = y 2 + 50 2

y = 50 3

E sec 2 ⁡ θ é dado por:

sec 2 ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ 2 = 1 50 3 100 2 = 12 9 = 4 3

Então, se y ' t = 2 m / s temos:

θ ' t = - 50 2 50 3 2 4 3 = - 100 2500 × 3 × 4 3 = - 100 10000

θ ' t =

Logo, o ângulo varia a uma taxa de - 1 100 rad/s.

Resposta

O ângulo varia a uma taxa de - 1 100 rad/s.

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