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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 38

Quando o ar se expande adiabaticamente (sem ganhar ou perder calor), sua pressão P e volume V estão relacionados pela equação P V 1,4 = C , onde C é uma constante. Suponha que em um certo instante o volume é de 400   c m 3 e a pressão, 80   k P a , e está decrescendo a uma taxa de 10   k P a / m i n . A que taxa está crescendo o volume nesse momento?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de crescimento do volume de ar se expandindo adiabaticamente. Sabendo que sua pressão P e volume V estão relacionados pela equação P V 1,4 = C , onde C é uma constante, e que em um certo instante o volume é de 400   c m 3 e a pressão, 80   k P a , e está decrescendo a uma taxa de 10   k P a / m i n .

Como taxa nada mais é do que a derivada em relação ao tempo, podemos para relacionar as taxas, derivar implicitamente essa equação. Assim, vamos encontrar a taxa V ' ( t 0 ) e substituir os valores que o enunciado nos deu para obter a nossa resposta.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função.

d P V 1,4 d t = d C d t

Assim, pela regra do produto, temos:

P ∙ d V 1,4 d t + d P d t ∙ V 1,4 = 0

E pela regra da cadeia:

P ∙ 1,4 ∙ V 1,4 - 1 ∙ d V d t + d P d t ∙ V 1,4 = 0

P ∙ 1,4 ∙ V 0,4 ∙ V ' + P ' ∙ V 1,4 = 0

Dividindo dos dois lados por V 0,4 :

1,4 ∙ P ∙ V ' + P ' ∙ V = 0

1,4 ∙ P t ∙ V ' t + P ' t ∙ V t = 0

Onde para um instante qualquer t o de tempo, teremos:

1,4 ∙ P t o ∙ V ' t o + P ' t o ∙ V t o = 0

Passo 3

Olha, a gente pode até não saber quem exatamente é esse instante t o . Mas o enunciado nos deu valores exatamente nesse instante! Saca só:

“Suponha que em um certo instante o volume é de 400   c m 3 e a pressão, 80   k P a , e está decrescendo a uma taxa de 10 k P a / m i n ”

Traduzindo isso pro matematiquês, temos:

V t o = 400

P t o = 80

P ' t o = - 10

Show galera, então é só substituir na fórmula que achamos no passo 2 . Dessa forma, temos:

1,4 ∙ P t o ∙ V ' t o + P ' t o ∙ V t o = 0

1,4 ∙ 80 ∙ V ' t o - 10 ∙ 400 = 0

E isolando V ' ( t 0 ) , obtemos:

112 ∙ V ' t o = 4.000

V ' t o ≅ 35,71   c m 3 / m i n  

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V ' t o ≅ 35,71   c m 3 / m i n  

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