Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 38
Quando o ar se expande adiabaticamente (sem ganhar ou perder calor), sua pressão e volume estão relacionados pela equação , onde é uma constante. Suponha que em um certo instante o volume é de e a pressão, , e está decrescendo a uma taxa de . A que taxa está crescendo o volume nesse momento?
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de crescimento do volume de ar se expandindo adiabaticamente. Sabendo que sua pressão e volume estão relacionados pela equação , onde é uma constante, e que em um certo instante o volume é de e a pressão, , e está decrescendo a uma taxa de .
Como taxa nada mais é do que a derivada em relação ao tempo, podemos para relacionar as taxas, derivar implicitamente essa equação. Assim, vamos encontrar a taxa e substituir os valores que o enunciado nos deu para obter a nossa resposta.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando a nossa função.
Assim, pela regra do produto, temos:
E pela regra da cadeia:
Dividindo dos dois lados por :
Onde para um instante qualquer de tempo, teremos:
Passo 3
Olha, a gente pode até não saber quem exatamente é esse instante . Mas o enunciado nos deu valores exatamente nesse instante! Saca só:
“Suponha que em um certo instante o volume é de e a pressão, , e está decrescendo a uma taxa de ”
Traduzindo isso pro matematiquês, temos:
Show galera, então é só substituir na fórmula que achamos no passo . Dessa forma, temos:
E isolando , obtemos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉