Enunciado

Plote o ponto cujas coordenadas polares são dadas. Então encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto com r > 0 e outro com r < 0 .

a) 1 , π 2 b) - 2 , π 4 c) 3 ,   2

Passo 1

Opa!! Tudo tranquilinho?? A questão pede para plotarmos os seguintes pontosem coordenadas polares:

a)

1 , π 2

b)

- 2 , π 4

c)

3 ,   2

Lembre-se que a primeira coordenada r fornece o raio e a segunda, θ , o ângulo polar.

Com isso, precisamos ter em mente que o plano polar é dado da seguinte forma:

Onde essas circunferências tem raio r . Com isso, basta girarmos no sentido anti-horário em um ângulo θ para encontramos o ponto desejado!

Também queremos encontrar dois outros pares de coordenadas polares desse ponto com r > 0 e outro com r < 0 .

Para o primeiro caso basta somar 2 π ao ângulo θ dado e, para o segundo caso, basta somar π a fim de rebater para o quadrante oposto!!! ���

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Assim, para o primeiro ponto, r = 1 , de modo que ele deve estar sobre a circunferência de raio 1 .

Além disso θ = π / 2 , de modo que o ângulo feito com o eixo x (sentido anti-horário) é π / 2 .

Com isso, marcando o ponto no nosso plano, temos:

Passo 3

Assim, para o segundo ponto, r = - 2 , de modo que ele deve estar sobre a circunferência de raio 2 .

Além disso θ = π / 4 , partindo de π , ou se formos contar a partir de 0 , teremos:

θ = π 4 + π = 5 �� 4

Com isso, marcando o ponto no nosso plano, temos:

Passo 4

Assim, para o segundo ponto, r = 3 , de modo que ele deve estar sobre a circunferência de raio 3 .

Além disso θ = 2 .

Com isso, marcando o ponto no nosso plano, temos:

Com isso, podemos resumir os nossos pontos na seguinte figura:

Passo 5

O exercício também pede para descrevermos esses pontos com outras coordenadas polares. O jeito mais fácil de fazer isso é adicionar 2 π no ângulo polar:

1 , π 2 + 2 π → 1 , 5 π 2

- 2 , π 4 + 2 π → - 2 , 9 π 4

( 3 ,   2 + 2 π )

Uma outra forma de se fazer isso é mudar o sinal de r e rebater o ângulo para o quadrante oposto. Para rebater o ângulo para o quadrante oposto basta somar π :

- 1 , π 2 + π → - 1 , 3 π 2

2 , π 4 + π → 2 , 5 π 4

( - 3 ,   2 + π )

Resposta

1 , 5 π 2             e             - 1 , 3 π 2

- 2 , 9 π 4             e               2 , 5 π 4

3 ,   2 + 2 π               e               - 3 ,   2 + π

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Plote o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. Depois, determine as coordenadas retangulares do ponto. 3 , 0 , π
Descreva em palavras a superfície cuja a equação é dada a seguir r = 3
Identifique a superfície cuja a equação é dadar = 2 cos theta
Converta de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas. 0 , - 1 , - 1
Descreva em palavras a superfície cuja a equação é dada a seguir ρ = 3