Os polinômios de Legendre podem ser escritos como

P n = ∑ k = 0 [ n 2 ] - 1 k 2 n - 2 k ! 2 n k   ! n - k ! n - 2 k !   x n - 2 k

Em que [k/2] é o maior inteiro menor ou igual a n/2. Verifique esse fato para n=1,2,3,4 e 5.

Passo 1

Se repararmos, no livro-texto, nós temos no capítulo 6 as duas equações necessárias para exemplificar o fato desejado. Nós temos:

y 1 = c 0 ∑ n = 0 ∞ 2 n ! n + 2 ! x n ,   x < ∞   e   y 2 = c 2 x - 2 ∑ n = 2 ∞ 2 n - 2 ! n ! x n

Passo 2

Por conta disso, se pararmos para reparar, uma inspeção detalhada de y2 revela que y2 é múltiplo de y1. Se fizermos k=n-2, nós encontraremos que o método de Frobenius nos dá somente uma solução em série para a equação diferencial que está em questão.

Assim, provamos que o fato para n = 1,2,3,4 e 5 estará contido em y2, demonstrado acima.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-8, encontre a solução geral para a equação diferencial dada em (0, ∞) .d/dx [ x * y' ] + [ x - 4/2 ] y = 0
Verifique que a equação diferencialx²y'' + (λ² * x² - v² + 1/4)y = 0, x0 ² Possui a solução particular y = raiz(x) J_v(λx) , em que λ0
Nos problemas 1-8, encontre a solução geral para a equação diferencial dada em (0, ∞) .x^2 * y'' + x * y' + (x^2 - 1) * y = 0
Nos problemas 1-8, encontre a solução geral para a equação diferencial dada em (0, ∞) .x^2 * y'' + y' + (x^2 - 1/9) * y = 0
Nos problemas 1-8, encontre a solução geral para a equação diferencial dada em (0, ∞) .4x^2 * y'' + 4x * y' + (4 * x^2 - 25) * y = 0