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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 12

Verifique que a equação diferencial

x ² y ' ' + λ 2 x 2 - v 2 + 1 4 y = 0 ,   x > 0

Possui a solução particular y = x J v ( λ x ) , em que λ > 0

Passo 1

Vamos lá

Temos que fazer y = x J v ( λ x ) na equação:

x 2 y ' ' + λ 2 x 2 - v 2 + 1 4 y = 0

Mas antes vamos encontrar y ' e y ' ' derivando x J v ( λ x ) ok?

Vamos ter

y ' = λ x J v ' λ x + 1 2 x - 1 2 J v ( λ x )

E:

y ' ' = λ 2 x J v ' ' λ x + λ x - 1 2 J v ' λ x - 1 4 x - 3 2 J v ( λ x )

Agora sim, vamos substituir isso na nossa equação

Passo 2

Nossa equação vai ficar assim:

x λ 2 x 2 J v ' ' λ x + λ x J v ' λ x + λ 2 x 2 - v 2 J v λ x = 0

Sendo J v uma solução da equação de Bessel, temos

x . 0 = 0

0 = 0

Igualdade verdadeira!! Então, realmente y = x J v ( λ x ) é uma solução

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Nos Problemas 23-26, use (14) ou (15) para obter os resultados pedidos. ∫ x n J 0 x d x = x n J 1 x + n - 1 x n - 1 J 0 x - n - 1 2 ∫ x n - 2 J 0 x d x
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Use (8) com v = m , em que m é um inteiro positivo, e o fato de que 1 Γ N = 0 , em que N é um inteiro negativo, para mostrar que: J - m x = - 1 m J m ( x )