Enunciado

Nos problemas 1-8, encontre a solução geral para a equação diferencial dada em ( 0 ,   ∞ ) .

x 2 y ' ' + y ' + x 2 - 1 9 y = 0

Passo 1

E aí colega, vamos lá?

Vamos usar a mesma técnica do exemplo 1 do seu livro belezinha?

Então temos a equação diferencial:

x 2 y ' ' + y ' + x 2 - 1 9 y = 0

Onde

v 2 - 1 9 = 0

v 2 = 1 9

v = ± 1 3

Agora, dá uma olhada na equação (9) do seu livro:

y = c 1 J v x + c 2 J - v ( x )

Substituindo o que encontramos, temos

y = c 1 J 1 3 x + c 2 J - 1 3 ( x )

E fimmm

Resposta

y = c 1 J 1 3 x + c 2 J - 1 3 ( x )

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Os polinômios de Legendre são gerados pela fórmula de Rodrigues*. Verifique isso para n=0, 1, 2 e 3.
Use a série binomial para mostrar formalmente que 1 - 2 x t + t 2 - 1 2 =∑ n = 0 ∞ P n x t n .
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