Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 46

Os polinômios de Legendre são gerados pela fórmula de Rodrigues*. Verifique isso para n=0, 1, 2 e 3.

Passo 1

Nós temos a seguinte fórmula:

P n x = 1 2 n n ! d n d x n x 2 - 1 n .

Vamos encontrar o valor de P(x) para n=0, 1, 2 e 3.

Passo 2

Para n=0,

P 0 x = 1 2 0 0 ! d 0 d x 0 x 2 - 1 0 = 0

Logo,

P 0 x = 0 .

Para n=1,

P 1 x = 1 2 1 1 ! d 1 d x 1 x 2 - 1 1 = 1 2 d d x x 2 - 1 = 1 2 * 2 x = x

Logo,

P 1 x = x

Para n=2,

P 2 x = 1 2 2 2 ! d 2 d x 2 x 2 - 1 2 = 1 8 d 2 d x 2 x 4 - 2 x 2 + 1 = 1 8 d d x 4 x 3 - 4 x = 1 8 12 x 2 - 4

P 2 x = 3 2 x 2 - 1 2    

Para n=3, temos:

P 3 x = 1 2 3 3 ! d 3 d x 3 x 2 - 1 3 = 1 48 d 3 d x 3 x 6 - 3 x 4 + 3 x 2 - 3 = 1 48 120 x 3 - 72 x = 5 2 x 3 - 3 2 x

Logo, temos que

P 3 x = 5 2 x 3 - 3 2 x

Resposta

Para n=0, P 0 x = 0

Para n=1, P 1 x = x

Para n=2, P 2 x = 3 2 x 2 - 1 2  

Para n=3, P 3 x = 5 2 x 3 - 3 2 x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique que a equação diferencial x y ' ' + 1 + 2 n y ' + x y = 0 ,x0 Possui a solução particular y = x - n J n ( x )
Nos problemas 13-18, use os resultados dos problemas 10, 11 e 12 para encontrar uma solução particular para a equação diferencial dada em ( 0 , ∞ ) y ' ' + y = 0
Use a mudança de variável y = x - 1 2 v ( x ) para encontrar a solução geral para a equação x 2 y ' ' + 2 x y ' + λ 2 x 2 y = 0 ,x0
Verifique que a equação diferencial x y ' ' + 1 - 2 n y ' + x y = 0 ,x0 Possui a solução particular y = x n J n ( x )
Nos problemas 13-18, use os resultados dos Problemas 10,11 e 12 para encontrar uma solução particular para a equação diferencial dada em 0 ,∞ . x y ' ' + 3 y ' + x y = 0