Em quais pontos da curva y = cosh ⁡ x a tangente tem inclinação 1

Passo 1

Eaeee, belezinha? Bom... a questão quer que calculemos os pontos da curva y = cosh ⁡ x em que a tangente tem inclinação 1 .

O conceito chave aqui é lembrar que a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente é igual à derivada da função naquele ponto.

Para saber os pontos devemos calcular a derivada da função e aplicar em 1:

y ' = ( cosh ⁡ x ) '

Sabemos pela regra da derivação de funções hiperbólicas que:

cosh ⁡ x ' = sinh ⁡ x    

Vamos então agora aos cálculos!!

Passo 2

Temos então que a derivada da função é igual à inclinação da tangente:

y ' = 1

cosh ⁡ x   ' = sinh ⁡ x  

Então:

sinh ⁡ x = 1

sinh - 1 ⁡ 1 = x = 1

Agora podemos usar a seguinte fórmula:

sinh - 1 ⁡ x = ln ⁡ x + x 2 + 1

Então é só substituir, vamos lá:

x = 1

sinh - 1 ⁡ 1 = ln ⁡ 1 + 2

Passo 3

Agora vamos achar o valor do par de x = ln ⁡ 1 + 2 na função:

y = cosh ⁡ x

Aqui temos que:

cosh ⁡ x = 1 + x

E, como do passo 2 temos:

x   = 1

Assim, podemos substituir aqui:

y = cosh ⁡ x   = ( 1 + x   ) = ( 1 + 1 ^ 2   ) = 2

Assim o ponto é ( ln ⁡ 1 + √ 2   )     , √ 2 ) .

Resposta

( ln ⁡ 1 + √ 2   )     , √ 2 ) .

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