Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.2 - Ex. 40

Em que pontos ( x ,   y ,   z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas?

  1. h x ,   y ,   z = 4 - x 2 - y 2 - z 2
  2. h x ,   y ,   z = 1 4 - x 2 + y 2 + z 2 - 9

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo!

Assim como para funções de duas variáveis, a continuidade é definida em termos de limites. Uma função f x ,   y , z é contínua no ponto x 0 ,   y 0 ,   z 0 se:

lim x ,  y ,  z → x 0 ,   y 0 ,   z 0 ⁡ f x ,   y ,   z = f x 0 ,   y 0 ,   z 0

Dizemos que f é contínua em D se f for contínua em todo ponto x 0 ,   y 0 ,   z 0 de D .

Passo 2

Então, no item a., temos a seguinte função:

h x ,   y ,   z = 4 - x 2 - y 2 - z 2

Sabemos que a função g t = t , é contínua quando t ≥ 0 . Sendo assim, para a nossa função h :

4 - x 2 - y 2 - z 2 ≥ 0

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4

Então nossa função é contínua, quando x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 .

Passo 3

Já para o item b., temos:

h x ,   y ,   z = 1 4 - x 2 + y 2 + z 2 - 9

Primeiramente, vamos analisar a função com a raiz quadrada, assim como fizemos no Passo 2:

x 2 + y 2 + z 2 - 9 ≥ 0

x 2 + y 2 + z 2 ≥ 9

Mas neste caso, temos mais uma restrição, que é o denominador que não pode ser igual a zero, então:

4 - x 2 + y 2 + z 2 - 9 ≠ 0

x 2 + y 2 + z 2 - 9 ≠ 4

A função é contínua em todo x ,   y ,   z com x 2 + y 2 + z 2 ≥ 9 e x 2 + y 2 + z 2 - 9 ≠ 4 .

Tchau pessoal. Até logo, quero fazer mais exercícios com vocês.

Resposta

  1. Todo x ,   y ,   z   com x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 .
  2. Todo x ,   y ,   z satisfazendo x 2 + y 2 + z 2 ≥ 9 e x 2 + y 2 + z 2 - 9 ≠ 4 .

Exercícios de Livros Relacionados

Em que pontos ( x ,y ,z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas? f x ,y ,z = ln ⁡ x y z f x ,y ,z = e x + y cos ⁡ z
Em que pontos ( x ,y ,z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas? h x ,y ,z = ln ⁡ z - x 2 - y 2 - 1 h x ,y ,z = 1 z - x 2 + y 2
Em que pontos ( x ,y ,z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas? h x ,y ,z = 1 y + z h x ,y ,z = 1 x y + z
Em que pontos ( x ,y ,z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas? h x ,y ,z = x y sin ⁡ 1 z h x ,y ,z = 1 x 2 + z 2 - 1