Em que pontos (x, y, z) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas?

  1. f(x, y, z) = ln(xyz)
  2. f(x, y, z) = e^(x + y) * cos(z)

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo!

Assim como para funções de duas variáveis, a continuidade é definida em termos de limites. Uma função f x ,   y , z é contínua no ponto x 0 ,   y 0 ,   z 0 se:

lim x ,  y ,  z → x 0 ,   y 0 ,   z 0 ⁡ f x ,   y ,   z = f x 0 ,   y 0 ,   z 0

Dizemos que f é contínua em D se f for contínua em todo ponto x 0 ,   y 0 ,   z 0 de D .

Passo 2

Então, no item a., temos a seguinte função:

f x ,   y ,   z = ln ⁡ x y z

Sabemos que a função g t = ln ⁡ t , onde t tem que ser um número positivo e diferente de zero. Então para a nossa função f , sabemos que:

x ≠ 0 y ≠ 0 z ≠ 0

Além disso, a multiplicação x y z > 0 . Sendo assim, a função é contínua em todo x ,   y ,   z , com x ≠ 0 , y ≠ 0 , z ≠ 0 e x y z > 0 .

Passo 3

Já para o item b., temos:

f x ,   y ,   z = e x + y cos ⁡ z

Que é uma função contínua em todo x ,   y ,   z .

Resposta

  1. Todo x ,   y ,   z   com x ≠ 0 , y ≠ 0 , z ≠ 0 e x y z > 0 .
  2. Todo x ,   y ,   z .

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