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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.2 - Ex. 37

Em que pontos ( x ,   y ,   z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas?

  1. h x ,   y ,   z = x y sin ⁡ 1 z
  2. h x ,   y ,   z = 1 x 2 + z 2 - 1

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo!

Assim como para funções de duas variáveis, a continuidade é definida em termos de limites. Uma função f x ,   y , z é contínua no ponto x 0 ,   y 0 ,   z 0 se:

lim x ,  y ,  z → x 0 ,   y 0 ,   z 0 ⁡ f x ,   y ,   z = f x 0 ,   y 0 ,   z 0

Dizemos que f é contínua em D se f for contínua em todo ponto x 0 ,   y 0 ,   z 0 de D .

Passo 2

Então, no item a., temos a seguinte função:

h x ,   y ,   z = x y sin ⁡ 1 z

Sabemos que a função g t = 1 / t , é contínua, exceto quando t = 0 . Então a nossa função h é contínua em todo x ,   y ,   z , exceto quando z = 0 .

Passo 3

Já para o item b., temos:

h x ,   y ,   z = 1 x 2 + z 2 - 1

Sabemos que o denominador dessa função não pode ser zero, sendo assim:

x 2 + z 2 - 1 ≠ 0

x 2 + z 2 ≠ 1

Logo, a função h é contínua em todo x ,   y ,   z , exceto quando x 2 + z 2 = 1 .

Tchau!!

Resposta

  1. Todo x ,   y ,   z   com z ≠ 0 .
  2. Todo x ,   y ,   z com x 2 + z 2 ≠ 1 .

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Em que pontos ( x ,y ,z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas? h x ,y ,z = 4 - x 2 - y 2 - z 2 h x ,y ,z = 1 4 - x 2 + y 2 + z 2 - 9