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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.2 - Ex. 39

Em que pontos ( x ,   y ,   z ) no espaço as funções nos Exercícios 35-40 são contínuas?

  1. h x ,   y ,   z = ln ⁡ z - x 2 - y 2 - 1
  2. h x ,   y ,   z = 1 z - x 2 + y 2

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo!

Assim como para funções de duas variáveis, a continuidade é definida em termos de limites. Uma função f x ,   y , z é contínua no ponto x 0 ,   y 0 ,   z 0 se:

lim x ,  y ,  z → x 0 ,   y 0 ,   z 0 ⁡ f x ,   y ,   z = f x 0 ,   y 0 ,   z 0

Dizemos que f é contínua em D se f for contínua em todo ponto x 0 ,   y 0 ,   z 0 de D .

Passo 2

Então, no item a., temos a seguinte função:

h x ,   y ,   z = ln ⁡ z - x 2 - y 2 - 1

Sabemos que a função g t = ln ⁡ t , é contínua quando t > 0 . Sendo assim, para a nossa função h :

z - x 2 - y 2 - 1 > 0

z > x 2 + y 2 + 1

é contínua, satisfazendo a condição de z > x 2 + y 2 + 1 .

Passo 3

Já para o item b., temos:

h x ,   y ,   z = 1 z - x 2 + y 2

Primeiramente, temos que relembrar que a raiz quadrada tem que ser um número positivo, porém, como x e y está ao quadrado, os valores para eles sempre será positivo. Além disso, sabemos que o denominador não pode ser igual a zero, sendo assim:

z - x 2 + y 2 ≠ 0

z ≠ x 2 + y 2

Logo, a função h é contínua em todo x ,   y ,   z , exceto quando x 2 + z 2 = 1 .

Até mais galerinha!

Resposta

  1. Todo x ,   y ,   z   satisfazendo z > x 2 + y 2 + 1 .
  2. Todo x ,   y ,   z com z ≠ x 2 + y 2 .

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