Em que pontos as funções nos Exercícios 13-30 são contínuas?

30. g x = x 3 - 8 x 2 - 4 ,   x ≠ 2   e   x ≠ - 2 3 ,     x = 2 4 ,     x = - 2

Passo 1

Bom, pra termos uma função contínua precisamos que o valor do limite seja igual ao valor da função no ponto. Logo:

lim x → - 2 ⁡ g ( x ) = g - 2   e   lim x → 2 ⁡ g ( x ) = g 2

Passo 2

Resolvendo primeiro o limite para x → - 2

lim x → - 2 ⁡ x 3 - 8 x 2 - 4

lim x → - 2 ⁡ ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) ( x - 2 ) ( x + 2 )

lim x → - 2 ⁡ ( x 2 + 2 x + 4 ) ( x + 2 ) = 4 0

Logo o Limite não existe para x → - 2 , enquanto f ( - 2 ) = 4

Passo 3

Resolvendo agora o limite para x → 2

lim x → 2 ⁡ x 3 - 8 x 2 - 4

lim x → 2 ⁡ ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) ( x - 2 ) ( x + 2 )

lim x → 2 ⁡ ( x 2 + 2 x + 4 ) ( x + 2 ) = 3

Logo,

lim x → 2 ⁡ g ( x ) = 3

g 2 = 3

Então é contínua em x = 2

Resposta

Descontínua apenas em x = - 2 .

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