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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 40

Mostre que f é contínua em ( - ∞ , ∞ )

f x = sen ⁡ x ,       s e   x < π 4 cos ⁡ x ,       s e   x ≥ π 4

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f x = sen ⁡ x ,       s e   x < π 4 cos ⁡ x ,       s e   x ≥ π 4

E nosso objetivo é mostrar que f é continua em todo o domínio.

Tem ideia de como fazemos isso?

A função é definida por partes e pelo que podemos ver de cada uma delas, que as partes isoladas são contínuas já que temos um seno e um cosseno. Com isso, a única alternativa para a função não ser contínua, seria se ao passar de uma parte para outra, as funções não combinarem...

Podemos verificar essa afirmação calculando o limite de cada uma das partes quando x tende a π 4 .

lim x → π 4 ⁡ f ( x )

Veja só!

Passo 2

Vamos começar calculando os limites laterais de f ...

Quando x tende a π / 4 pela esquerda, estamos no domínio de sin ⁡ x , logo

lim x → π 4 - ⁡ f x = lim x → π 4 - ⁡ sen ⁡ x

lim x → π 4 - ⁡ f x = sen ⁡ π 4

lim x → π 4 - ⁡ f ( x ) = 2 2

Agora se nos aproximarmos pela direita, com influência do domínio de cos ⁡ x , temos

lim x → π 4 + ⁡ f x = lim x → π 4 + ⁡ cos ⁡ x

lim x → π 4 + ⁡ f x = cos ⁡ π 4

lim x → π 4 + ⁡ f x = 2 2

Os limites laterais de f para x → π / 4 tenderam ao mesmo valor, dessa forma, lim x → π 4 ⁡ f ( x ) existe e é igual a 2 / 2 .

Agora, calculando o valor exato da função no ponto π / 4 :

Vemos que exatamente x = π / 4 , f x = cos ⁡ x , ou seja

f π 4 = cos ⁡ π 4 = 2 2

Então, como lim x → π 4 ⁡ f ( x ) = f π 4 , f é contínua no ponto x = π / 4 e em todo x ∈ R

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

lim x → π 4 ⁡ f ( x ) = f π 4

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