Em que pontos (x, y) no plano as funções nos Exercícios 31-34 são contínuas?

  1. g(x, y) = sen(1 / (xy))
  2. g(x, y) = (x + y) / (2 + cos(x))

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo!

Assim como para funções de uma variável, a continuidade é definida em termos de limites. Uma função f x ,   y é contínua no ponto x 0 ,   y 0 se:

  1. f for definida em x 0 ,   y 0 ;
  2. lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x ,   y existe;
  3. lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x ,   y = f x 0 ,   y 0 .

Uma função é contínua se for contínua em todos os pontos de seu domínio.

Passo 2

Então, no item a., temos a seguinte função:

g x ,   y = sen ⁡ 1 x y

A função g x ,   y = 1 / x y é contínua exceto quando x ≠ 0 e y ≠ 0 . E a função h t = sen ⁡ t é contínua em qualquer ponto.

Sendo assim, a função f é contínua, exceto onde x ≠ 0 e y ≠ 0 .

Passo 3

Já para o item b., temos:

g x ,   y = x + y 2 + cos ⁡ x

Neste caso, a função f é contínua em todo ponto x ,   y .

Resposta

  1. Todo x ,   y , exceto onde x = 0 ou y = 0 .
  2. Todo x ,   y .

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