Determine se lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x ,   y existe nos seguintes casos:

c f(x, y) = xy / raiz(x^2 + y^2), (x_0, y_0) = (0, 0)

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver duas variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.

Tendo x ,   y tendendo ao ponto dado, vamos verificar se a função se torna indefinida nesse mesmo ponto. Caso isso aconteça, precisamos manipular a função f x ,   y de tal modo que o limite passe a existir. Mas de início, podemos apenas substituir as coordenadas do ponto na nossa função e verificar o seu resultado.

Passo 2

Então, se substituirmos o ponto 0 ,   0 no nosso limite, teremos:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x y x 2 + y 2 = 0 0

Como a substituição direta deu um resultado indeterminado, vamos resolver o limite de outra forma. Vamos fazer uso o Teorema do Sanduíche, no qual a ideia é usar duas funções sendo uma menor e outra maior do que a função dada. Matematicamente, se temos uma função f x ,   y , tal que:

g x ,   y ≤ f x ,   y ≤ h x ,   y

E:

lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ g x , y = lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ h x , y = L

Então:

lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x , y = L

É parecido com a ideia de limites laterais, não é mesmo?

Ainda, vamos usar também o Teorema do Anulamento que diz que se:

lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x , y = 0

E g x ,   y é uma função limitada, então:

lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x , y ∙ g x ,   y = 0

Passo 3

Como a nossa função dada pode ser escrita como:

x y x 2 + y 2 = x x 2 + y 2 y = y x 2 + y 2 x

E sabendo que:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ y = 0

Ela possui uma forma parecida com a necessária para o Teorema do Anulamento proceder, o que é um sinal de que o limite existe. Pra confirmar, vamos aplicar o Teorema do Sanduíche.

Passo 4

Então, vamos utilizar outras duas funções em que uma seja menor e outra seja maior que a função de interesse. Logo, vamos escrever primeiro:

x 2 ≤ x 2 + y 2

Ou ainda:

x ≤ x 2 + y 2

Queremos que a função da direita tenha a mesma forma que a f x ,   y dada. Então se passarmos ambos os termos para o denominador, a inequação fica como:

1 x 2 + y 2 ≤ 1 x

E multiplicando por x y :

x y x 2 + y 2 ≤ x y x

O termo esquerda é maior que zero e o da direita sempre vai ser menor do que y . Então, podemos reescrever a inequação como:

0 ≤ x y x 2 + y 2 ≤ y

E assim chegamos na inequação desejada.

Passo 5

Como temos que os limites dos extremos resultam em:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ 0 = 0

E:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ y = 0

Podemos concluir que:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x y x 2 + y 2 = 0

E, portanto, ele existe.

Resposta

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x y x 2 + y 2 = 0

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