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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 15

Quais pontos no plano x y satisfazem as equações e desigualdades nos Exercícios 11-16? Desenhe uma figura para cada exercício.

9 x 2 + 4 y 2 - 36 4 x 2 + 9 y 2 - 16 ≤ 0

Passo 1

Olá pessoal, sabemos que as seções cônicas resultam da intersecção de um cone plano, como mostrado na Figura:

Equações de forma padrão para elipses centradas na origem:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1                                       ( a > b )

  • Distância entre o centro e foco: c = a 2 - b 2
  • Focos: ± c ,   0
  • Vértices: ± a ,   0

    • Uma equação da parábola com foco 0 ,   p e diretriz y = - p é:

    x 2 = 4 p y

    Se considerarmos que a = 1 / ( 4 p ) , então a equação torna-se:

    y = a x 2

    • Se   p > 0 concavidade para baixo;
    • Se   p < 0 concavidade para cima.

    Equações de forma padrão para hipérbole centradas na origem:

    x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

  • Distância entre o centro e foco: c = a 2 + b 2
  • Focos: ± c ,   0
  • Vértices: ± a ,   0
  • Assíntotas: x 2 a 2 - y 2 b 2 = 0 ou y = ± b a x

Sabendo disso, temos o primeiro termo da equação:

9 x 2 + 4 y 2 ≤ 36

Dividindo ambos os lados por 36:

x 2 4 + y 2 9 ≤ 1

É uma elipse com vértices V ± 2 ,   0 e V 0 ,   ± 3 , ou seja:

Passo 2

Já o segundo termo da equação:

4 x 2 + 9 y 2 - 16 ≤ 0

4 x 2 + 9 y 2 ≤ 16

x 2 4 + y 2 16 9 ≤ 1

É uma elipse com vértices V ± 2 ,   0 e V 0 ,   ± 1,333 , ou seja:

Passo 3

Porém queremos a área que junta as duas elipses:

9 x 2 + 4 y 2 - 36 4 x 2 + 9 y 2 - 16 ≤ 0

Sendo assim, temos o seguinte:

Resposta

Resposta no Passo.

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