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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.7 - Ex. 2

A população de determinada cidade dobrou em 60 anos, de 1890 a 1950. Se a taxa de crescimento natural da população em qualquer instante for proporcional à população naquele instante e a população em 1950 era de 60.000, estime a população no ano 2000.

Passo 1

Sendo y a população da cidade, a taxa de crescimento de y é proporcional a y . Temos então a equação diferencial:

d y d t = k y

Onde k é uma constante de proporcionalidade. Devemos então resolver a equação diferencial para y 0 = 60000 2 = 30000 e y 60 = 60000 , sendo t o tempo decorrido desde 1890, quando a população era de 30.000.

Passo 2

Separando as variáveis, temos:

d y y = k d t

Integrando os dois lados:

∫ d y y = ∫ k d t ⇒ ln ⁡ | y | = k t + C

Sendo C uma constante. Transformamos então a equação usando a relação ln ⁡ a = b ⇒ a = e b :

y = e k t + C ⇒ y = A e k t

Sendo A = ± e C uma constante.

Passo 3

Para completar nossa equação, precisamos achar os valores de A e k . De y 0 = 30000 , temos:

A e 0 = 30000 ⇒ A = 30000 ⇒ y = 30000 e k t

Agora, de y 60 = 60000 , obtemos:

30000 e 60 k = 60000 ⇒ e 60 k = 60000 30000 = 2

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ e 60 k = ln ⁡ 2 ⇒ 60 k = ln ⁡ 2 ⇒ k = ln ⁡ 2 60 ≈ 0,01155

Passo 4

Agora temos a função completa:

y t = 30000 e 0,01155 t

No ano de 2000, terão se passado t = 2000 - 1890 = 110 anos. Queremos então y ( 110 ) :

y 110 = 30000 e 0,01155 ⋅ 110 = 30000 e 1,271 = 30000 ⋅ 3,564 = 106920

Resposta

A   p o p u l a ç ã o   e s t i m a d a   é   d e   106.920   h a b i t a n t e s

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