Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 13
Resolva o Exemplo 1 desta secção se o ponto estiver a km rio abaixo de .
Passo 1
Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:
- Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
- Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
- A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.
Passo 2
Como o exemplo já tem a equação que relaciona o preço total a (que é a distância ) só precisamos mudar os parâmetros. Vamos mudar a distância de até , que ao invés de , será . Então vamos ficar com:
Essa é a equação que queremos minimizar!
Passo 3
Agora precisamos derivar essa função e a achar seus valores extremos. Repare que o domínio da função é .
Derivando:
Perceba que como só mudamos uma constante na equação do exemplo anterior, então a derivada é igual à da função anterior. Como a derivada é a mesma, vamos ter as mesmas raízes:
Mas podemos desconsiderar o , já que ele não faz parte do nosso domínio.
Passo 4
Então temos 3 pontos para analisar: e. O ponto que nos retornar a menor imagem será o mínimo que queremos!
Como nos retornou o menor valor de , então o ponto de mínimo é para .
Resposta
De a a , onde fica a 4 km abaixo de .