Enunciado

A posição de um determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial.

Faça o gráfico com s′ em um dos eixos e s no outro; isto é, faça o gráfico paramétrico de s(t) e s′(t), usando t como parâmetro. Esse tipo de gráfico é conhecido como um retrato de fase, e o plano ss′ é chamado de plano de fase. Note que uma curva fechada no plano de fase corresponde a uma solução periódica s(t). Qual é o sentido do movimento no retrato de fase quando t aumenta?

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos a seguinte relação:

u = e r t

u ' = r e r t

u ' ' = r ² e r t

A amplitude do sistema é dada por:

r 2 e r t + 2 e r t = 0

r ² + 2 = 0

r = - i 2 ,   i 2

Usando o princípio da superposição, teremos uma combinação para tera seguinte solução geral:

u t = C 3 cos ⁡ 2 t + C 4 sin ⁡ 2 t

u ' t =   - C 3 2 sin ⁡ 2 t + C 4 2 cos ⁡ 2 t

u 0 = C 3 = 0

u ' 0 =   C 4 2 = 2

C 4 = 2

u t = 2 sin ⁡ 2 t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

Resposta

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