Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 15
Um peso de distende uma mola em . O peso é solto a partir do repouso abaixo da posição de equilíbrio.
a) Encontre a posição do peso nos instantes .
b) Qual é a velocidade do peso quando ? Qual a direção da velocidade nesse instante, ou seja, o peso está descendo ou subindo?
c) Quando o peso passa pela posição de equilíbrio?
Passo 1
a) Então galera, assim como vimos na seção em questão a equação diferencial que decreve um movimento harmônico simples ou um movimento livre sem amortecimento, é a seguinte:
De acordo com o enunciado temos que:
E:
Substituindo na nossa equação diferencial, teremos:
Resolvendo essa equação:
Logo:
Então nossa solução será:
Show!
Passo 2
O enunciado nos dá as seguintes condições iniciais também, galera:
Aplicando a primeira condição, teremos:
Agora aplicando a segunda condição, teremos:
Então nossa solução geral para as condições iniciais dadas será:
Passo 3
Agora que encontramos a equação de movimento da mola podemos calcular as posições para os tempos solicitados, não é mesmo? Então bora lá!
Para :
Para :
Para :
Para :
E, por fim, para :
E estão aí nossas posições!
Passo 4
b) A velocidade do peso em será a seguinte:
Nesse instante de tempo o peso está descendo!
Passo 5
c) A posição de equilíbrio ocorre quando , certo? Então se igualarmos nossa equação de movimento a zero, teremos:
E então tiramos que:
No qual é um número inteiro positivo, ou seja,
Resposta
a)
b) e o peso está DESCENDO.
c)