Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 66
Precaução com o quociente da diferença centrada (Continuação do Exercício 65). O quociente
Pode ter um limite quando não possui derivada em . Para exemplificar, considere e calcule:
Você verá que o limite existe, embora não possua derivada em . Conclusão: antes de usar um quociente de diferença centrada, certifique-se de que a derivada existe.
Passo 1
Um texto grande para uma questão simples. Uma frase que resume toda a questão. Conforme já sabemos a função não possui derivada em , pois as derivadas laterais são diferentes entre si. O que temos que provar é que o limite da função dada converge para algum valor. Vamos fazer isto então.
Passo 2
Temos que calcular o seguinte limite:
Logo,
Vamos fazer os limites laterais. Se , , logo
Se , . Portanto,
Desta forma, como os limites laterais são iguais entre si, o limite quando é igual a 0. Como o limite existe, a função deveria admitir uma derivada em , o que sabemos que é impossível! Portanto, acabamos de verificar o que a questão nos pede!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)