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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 66

Precaução com o quociente da diferença centrada (Continuação do Exercício 65). O quociente

f x + h - f ( x - h ) 2 h

Pode ter um limite h → 0 quando f não possui derivada em x . Para exemplificar, considere f x = x e calcule:

lim h → 0 ⁡ 0 + h - 0 - h 2 h

Você verá que o limite existe, embora f x = x não possua derivada em x = 0 . Conclusão: antes de usar um quociente de diferença centrada, certifique-se de que a derivada existe.

Passo 1

Um texto grande para uma questão simples. Uma frase que resume toda a questão. Conforme já sabemos a função f x = x não possui derivada em x = 0 , pois as derivadas laterais são diferentes entre si. O que temos que provar é que o limite da função dada converge para algum valor. Vamos fazer isto então.

Passo 2

Temos que calcular o seguinte limite:

lim h → 0 ⁡ 0 + h - 0 - h 2 h

Logo,

lim h → 0 ⁡ h - - h 2 h

Vamos fazer os limites laterais. Se h → 0 + , h > 0 , logo

lim h → 0 ⁡ h - - h 2 h = lim h → 0 ⁡ h - h 2 h = lim h → 0 ⁡ 0 2 h = 0

Se h → 0 - , h < 0 . Portanto,

lim h → 0 ⁡ h - - h 2 h = lim h → 0 ⁡ - h - ( - h ) 2 h = lim h → 0 ⁡ 0 2 h = 0

Desta forma, como os limites laterais são iguais entre si, o limite quando h → 0 é igual a 0. Como o limite existe, a função deveria admitir uma derivada em x = 0 , o que sabemos que é impossível! Portanto, acabamos de verificar o que a questão nos pede!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada. f x = x + x
Demonstre, pela definição de derivada, que se f ( x ) = c o sx , então f ' ( x ) =- s e nx .
Use a definição de derivada para mostrar que lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x x = 1
Derive a função: f x = 186,5