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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 20

  1. Preencha as lacunas:

    2. 1 + 3 + 5 + … + 2 n - 1 = ∑ k = 1 n _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

  2. Use a parte (a) para provar que a soma dos n primeiros inteiros ímpares consecutivos é um quadrado perfeito.

Passo 1

Um jeito legal de provar isso é simulando valores de n , por exemplo n = 1 ,   2 ,   e   3   vai nos gerar uma equação do tipo 2 n - 1 , substituindo os valores de n :

( 2.1 - 1 ) = 1

( 2.2 - 1 ) = 3

( 2.3 - 1 ) = 5

2 n - 1

Conforme é mostrado o somatório a diferita da igualdade. Se dissermos que k = n , então podemos completar a lacula com ( 2 k - 1 ) : 1 + 3 + 5 + … + 2 n - 1 = ∑ k = 1 k = n ( 2 k - 1 )

Assim, conseguimos completar a lacuna mantendo a igualdade.

Passo 2

(b)

Agora, temos que mostrar que a soma dos primeiros n inteiros ímpares consecutivos é um quadrado perfeito. A soma dos primeiros números impares inteiros consecutivos pode ser escrito como:

∑ k = 1 k = n ( 2 k - 1 )

Agora, podemos separar esse somatório em:

∑ k = 1 k = n ( 2 k - 1 ) = ∑ k = 1 k = n 2 k - ∑ k = 1 k = n 1

Retirando o valor constante de dentro do somatório, temos:

∑ k = 1 k = n 2 k - 1 = 2 ∑ k = 1 k = n k - ∑ k = 1 k = n 1

Se considerarmos ∑ k = 1 k = n k = n ( n + 1 ) 2 , então:

∑ k = 1 k = n 2 k - 1 = 2 n n + 1 2 - n

∑ k = 1 k = n 2 k - 1 = n 2 + n - n

Dessa forma:

∑ k = 1 k = n 2 k - 1 = n 2

Resposta

1 + 3 + 5 + … + 2 n - 1 = ∑ k = 1 k = n ( 2 k - 1 )

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