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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 83

A primeira aparição impressa da regra de L’Hospital foi no livro Analyse des Infiniment Petits publicado pelo marquês de L’Hospital em 1696. Este foi o primeiro livro texto de cálculo a ser publicado e o exemplo que o marquês usou em seu livro para ilustrar sua regra foi encontrar o limite da função

y = 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 a - a x 3 4

quando x tende a a , onde a > 0 . Resolva esse problema.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema tem um textinho para dar um contexto, mas nosso objetivo é basicamente calcular o limite da função

y = 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 a - a x 3 4

Para x tendendo a a sendo a > 0 .

Tem ideia de como fazemos isso?

Vamos começar aplicando o método de substituição

lim x → a ⁡ 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 a - a x 3 4 = 2 a 3 a - a 4 - a a 2 a 3 a - a a 3 4

lim x → a ⁡ 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 a - a x 3 4 = a 2 - a 2 a - a = 0 0

Caímos em uma indeterminação 0 / 0 ! E agora?

Para contornar esse problema, podemos aplicar a regra de L’Hopital.

Para aplicar essa regra, temos que cair em uma indeterminação 0 / 0 ou ∞ / ∞ .

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador repetidamente até nos livrarmos da indeterminação.

lim ⁡ f x g x = lim ⁡ f ' x g ' x

Bora lá!

Passo 2

Vamos derivar o numerador e o denominador pela regra da cadeia...

Vamos por partes...

d 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 d x = d 2 a 3 x - x 4 d x - d a a 2 x 3 d x

d 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 d x = d 2 a 3 x - x 4 d x - a d a 2 x 3 d x

Calculando a derivada de 2 a 3 x - x 4 , temos

d 2 a 3 x - x 4 d x = d 2 a 3 x - x 4 d x · d u d u = 2 a 3 - 4 x 3 · 1 2 u

d 2 a 3 x - x 4 d x = 2 a 3 - 4 x 3 2 2 a 3 x - x 4

d 2 a 3 x - x 4 d x = a 3 - 2 x 3 2 a 3 x - x 4

Agora calculamos a derivada de a 2 x 3

d a 2 x 3 d x = d a 2 x d x · d u 3 d u = a 2 · 1 3 u 2 3  

d a 2 x 3 d x = a 2 3 a 2 x 2 3  

Substituindo na derivada do denominador, chegamos em

d 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 d x = d 2 a 3 x - x 4 d x - a d a 2 x 3 d x

d 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 d x = a 3 - 2 x 3 2 a 3 x - x 4 - a a 2 3 a 2 x 2 3  

d 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 d x = a 3 - 2 x 3 2 a 3 x - x 4 - a 3 3 a 2 x 2 3  

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada do denominador de y

d a - a x 3 4 d x = d a d x - d a x 3 4 d x

d a - a x 3 4 d x = d a d x - d a x 3 d x · d v 4 d v

d a - a x 3 4 d x = 0 - 3 a x 2 · 1 4 v 3 4

Organizando o resultado

d a - a x 3 4 d x = - 3 a x 2 4 a x 3 3 4

Substituindo as derivadas do numerador e do denominador no limite, chegamos em

lim x → a ⁡ 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 a - a x 3 4 = lim x → a ⁡ a 3 - 2 x 3 2 a 3 x - x 4 - a 3 3 a 2 x 2 3   - 3 a x 2 4 a x 3 3 4

Aplicando o limite fazendo x = a , temos

lim x → a ⁡ 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 a - a x 3 4 = lim x → a ⁡ a 3 - 2 x 3 2 a 3 x - x 4 - a 3 3 a 2 x 2 3   - 3 a x 2 4 a x 3 3 4 = a 3 - 2 a 3 2 a 3 a - a 4 - a 3 3 a 2 a 2 3   - 3 a a 2 4 a a 3 3 4

lim x → a ⁡ 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 a - a x 3 4 = - a 3 a 4 - a 3 3 a 3 2 3   - 3 a 3 4 a 4 3 4

lim x → a ⁡ 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 a - a x 3 4 = - a - a 3   - 3 4

Simplificando o resultado...

lim x → a ⁡ 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 a - a x 3 4 = 4 a 3 3 4

lim x → a ⁡ 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 a - a x 3 4 = 16 a 9

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

lim x → a ⁡ 2 a 3 x - x 4 - a a 2 x 3 a - a x 3 4 = 16 a 9

Ver Outros Exercícios desse livro

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Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 1 + 2 x -
Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 1 x 3 - 2 x
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê. lim t → 0 ⁡ e 2 t - 1 s
Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m θ → π 2 1 - s e
Use os gráficos de f e g e suas retas em ( 2 ,0 ) para encontrar lim x → 2 ⁡ f x g x