Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 11
Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.
Então vamos relembrar que regra é essas para que a gente possa usar.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Ou se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Vamos aplicar o limite para ver se já tá na cara de l’Hôspital, para a gente poder usar, ou se não, a gente fazer a mudança necessária, beleza?
Vamos lá !
Como caímos em uma indeterminação, podemos aplicar l’Hôspital, pois nosso limite tem a forma
Passo 3
Lembrando que, como:
Podemos fazer:
Aplicando a regra em nossa função, devemos derivar as funções que estão no numerador e no denominador, assim:
Arrumando as contas e substituindo a tendência do , ficamos com:
E prontinho. Limite calculado.