Encontre o limite. Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê.

lim θ → π/2 (1 - senθ) / (cosses θ)

Passo 1

Oieee, vamos lá?

Para encontrar o limite

l i m θ → π 2 1 - s e n θ c o s s e c   θ

Vamos primeiro simplificar a expressão e analisar se a regra de L'Hôpital é necessária ou se há um método mais elementar.

A expressão csc ⁡ θ é a recíproca de sin ⁡ θ ou seja:

csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ

Passo 2

Portanto, a expressão original pode ser reescrita como:

1 - sin ⁡ θ csc ⁡ θ = 1 - sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ

= 1 - sin ⁡ θ sin ⁡ θ

Agora, temos:

lim θ → π 2 ⁡ 1 - sin ⁡ θ sin ⁡ θ

À medida que θ → π / 2

- sin ⁡ θ → 1 .

Passo 3

Portanto, substituímos sin ⁡ θ por 1 na expressão:

lim θ → π 2 ⁡ 1 - sin ⁡ θ sin ⁡ θ

lim θ → π 2 ⁡ 1 - 1 ⋅ s i n   θ

lim θ → π 2 ⁡ 0 ⋅ sin ⁡ θ = 0

O limite é:

lim θ → π 2 ⁡ 1 - sin ⁡ θ sin ⁡ θ = 0

A regra de L'Hôpital não é necessária neste caso, pois a simplificação inicial nos permitiu avaliar diretamente o limite. Portanto, o método mais elementar foi suficiente para encontrar o resultado.

Resposta

lim θ → π 2 ⁡ 1 - sin ⁡ θ sin ⁡ θ = 0

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