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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 41

Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.

∫ x ln ⁡ 1 + x d x

Passo 1

Opa, bora calcular essa integral aqui:

∫ x ln ⁡ 1 + x d x

O enunciado pede pra a gente usar integração por partes. Mas primeiro precisamos fazer uma mudança de variável:

z = 1 + x → x = z - 1

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d z =   d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x ln ⁡ 1 + x d x = ∫ z - 1 ln ⁡ z d z

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos usar Integração por Partes agora:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos fazer então u = ln ⁡ z e d v = z - 1 d z :

d u = 1 z d z e v = z 2 2 - z

Vamos substituir agora:

∫ z - 1 ln ⁡ z d z = ln ⁡ z z 2 2 - z - ∫ z 2 2 - z 1 z d z = ln ⁡ z z 2 2 - z - ∫ z 2 - 1 d z

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

∫ k d x = k x + C

Então ficamos com:

∫ z 2 - 1 d z = ∫ z 2 d z + ∫ - 1 d z = 1 2 ∫ zdz - ∫ 1 dz = ⁡ 1 2 . z 2 2 - z + C = z 2 4 - z + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ z 2 - 1 d z = z 2 4 - z + C = 1 + x 2 4 - 1 + x + C

Agora vamos voltar a expressão original:

∫ x ln ⁡ 1 + x d x = ∫ z - 1 ln ⁡ z d z = ln ⁡ z z 2 2 - z - ∫ z 2 - 1 d z

= ln ⁡ z z 2 2 - z - 1 + x 2 4 - 1 + x + C

Prontinho, chegamos em:

∫ x ln ⁡ 1 + x d x = ln ⁡ 1 + x 1 + x 2 2 - 1 + x - 1 + x 2 4 - 1 + x + C

Resposta

∫ x ln ⁡ 1 + x d x = ln ⁡ 1 + x 1 + x 2 2 - 1 + x - 1 + x 2 4 - 1 + x + C

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39-42 Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.41- para calcular ∫ ln ⁡ e xd x usando a integração por partes, escolha d v = e x d x .
1-38 Calcule a integral.30. ∫ e e ln ⁡ x x 2 d x