Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 15
Calcule a integral.
Passo 1
Nesse problema temos que calcular a seguinte integral:
Analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e trigonométrica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui.
Vamos usar então a fórmula da integração por partes:
Precisamos chamar uma parte da integral de e outra de . Chamamos de a parte mais fácil de integrar e a mais fácil de derivar! No nosso caso, será a função polinomial. Teremos então:
Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.
Vamos substituir agora:
Passo 2
Agora temos que resolver:
Vamos ter que usar Integração por Partes novamente:
Vamos fazer então e :
e
Vamos substituir agora:
Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.
Passo 3
É fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Assim vamos ficar com:
Vamos agora voltar a expressão original e problema resolvido:
Prontinho!