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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.1 - Ex. 12

Nos problemas 11 e 12, determine, por inspeção, pelo menos duas soluções para o problema de valor inicial dado.

x d y d x = 2 y ,     y 0 = 0

Passo 1

Bom galera, queremos encontrar pelo menos duas soluções para a EDO x d y d x = 2 y , com y 0 = 0 .

Como ele fala que y 0 = 0 , é justo tentarmos a solução y = 0 , vamos verificar se bate:

x . ( 0 ) ' = 2 . 0

0 = 0

Iháá, a igualdade é verdadeira, então y = 0 é uma das soluções

Passo 2

Ta bom, agora vamos fuçar nos nossos conhecimentos de derivada para encontrarmos mais uma solução

Sabemos que a derivada de uma função do tipo y 1 = b . x n é:

d y 1 d x = b . n . x n - 1

Multiplicando os dois lados por x , para ficarmos mais próximos da EDO do problema:

x . d y 1 d x = b . n . x n - 1 x

x . d y 1 d x = b . n . x n

Isso é útil no nosso problema, vamos testar?

Temos

x d y d x = 2 y

Substituindo por y = b . x n     ( I ) :

x . b . x n ' = 2 ( b . x n )

x . b . n . x n - 1 = 2 b x n

n . x n = 2 x n

Como temos uma igualdade, temos:

n = 2

Passo 3

Substituindo em ( I ) o valor de n que encontramos:

y = b . x n     ( I )

y = b . x ²

Então, qualquer função do tipo y = b . x ² , para qualquer valor de b , é solução da EDO.

Vamos escolher b = 1 ok?

Aí temos duas soluções para a EDO: y = 0 e y = x ²

Resposta

y = 0

y = x ²

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Explique por que y = tan ⁡ x é uma solução para o problema de valor inicial da parte c no intervalo ( - 1,1 ) .
Considere a equação diferencial d y d x = 1 + y ² ²Determine uma região do plano x y tal que a equação tenha uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) da região.
Formalmente, mostre que y = tan ⁡ x satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y 0 = 0 .
Nos problemas 1-10, determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) na região. d y d x = x - 1 . e y / ( x - 1 )
Nos problemas 17-20, verifique se o Teorema 2.1 garante unicidade de solução para a equação diferencial y ' = y 2 - 9 , passando pelo ponto dado. ( - 1,1 )