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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.6 - Ex. 2

Nos problemas 1-12, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas

y ' + y = δ t - 1 ,       y 0 = 2

Passo 1

E aeeeeeeeee, vamos matar esse exercício rapidão

Temos essa equação diferencial:

y ' + y = δ t - 1 ,       y 0 = 2

E para encontrar y ( t ) , vamos usar a transformada de Laplace ta bom, então o passo a passo é: fazer a transformada da equação inteira, isolar Y ( s ) e fazer a transformada inversa do que encontrarmos, fechou?

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

y ' + y = δ t - 1

s . Y s - y 0 + Y s = e - s

Sabemos que y 0 = 2 :

Y s . s - 2 + Y ( s ) = e - s

Y s . s + 1 = e - s + 2

Então:

Y s = e - s + 2 s + 1

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, beleza?

Passo 3

Temos

Y s = e - s + 2 s + 1

Y s = e - s s + 1 + 2 s + 1

O e - s está representando a função degrau u atrasada em uma amostra, então tudo que tiver t relacionado à primeira fração, vai ter um - 1 depois

Além disso, o 1 s + 1 é a transformada de e - t , de acordo com o que vimos lá no passo 1

Então temos:

y t = e - t - 1 u t - 1 + 2 e - t

Showww, vamos pros próximos!!

Resposta

y t = e - t - 1 u t - 1 + 2 e - t

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