Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 34

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x y   d x - x 2 d y = y x 2 + y 2   d y ;     y 0 = 1

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos resolver essa equação aí!

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Bom, olhando pra nossa equação...

x y   d x - x 2 d y = y x 2 + y 2   d y

x 2 + y x 2 + y 2 d y = x y   d x

Vemos que a parte M ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição x = v y .

Passo 2

Vamos lá, se x = v y , temos d x = v   d y + y   d v . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x 2 + y x 2 + y 2 d y = x y   d x

v 2 y 2 + y v 2 y 2 + y 2 d y = v y 2 ( v   d y + y   d v )

v 2 y 2 d y + y y v 2 + 1   d y = v 2 y 2 d y + v y 3   d v

y 2 v 2 + 1   d y = v y 3   d v

v 2 + 1 d y = v y   d v

d y y = v v 2 + 1 d v

Temos uma EDO separável agora, só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ v v 2 + 1   d v = ∫ d y y

v 2 + 1 = ln ⁡ | y | + C

E como x = v y → v = x y , temos:

x 2 y 2 + 1 = ln ⁡ | y | + C

x 2 + y 2 y - ln ⁡ y = C

x 2 + y 2 - y ln ⁡ y = C y

Beleza! Achamos nossa solução geral, agora vamos encontrar esse C para resolver o problema de valor inicial...

Passo 4

A questão nos deu que y 0 = 1 , então vamos substituir isso na equação...

x 2 + y 2 - y ln ⁡ y = C y

0 2 + 1 - 1 ln ⁡ 1 = C ⋅ 1

1 - 0 = C

C = 1

Então a solução para o problema inicial é:

x 2 + y 2 - y ln ⁡ y = y

Prontinho! 😉

Resposta

x 2 + y 2 - y ln ⁡ y = y

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x - y d x + xd y = 0
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. - yd x + x + x y d y = 0
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x d y d x - y = x 2 + y 2
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x 4 + y 4 d x - 2 x 3 yd y = 0
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x = y x + x y