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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 23

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

d y d x = y x + x y

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Primeiro vamos arrumar nossa equação...

d y d x = y 2 + x 2 x y

x y   d y = y 2 + x 2 d x

Vemos que a parte N ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x y   d y = y 2 + x 2 d x

x 2 u u   d x + x   d u = u 2 x 2 + x 2 d x

x 2 u 2 d x + x 3 u   d u = u 2 x 2 d x + x 2 d x

u 2 d x + x u   d u = u 2 d x + d x

x u   d u = d x

u   d u = d x x

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ 1 x d x = ∫ u   d u

ln ⁡ | x | = u 2 2 + C

Como y = u x , temos u = y x :

ln ⁡ | x | = y 2 x 2 2 + C

2 ln ⁡ | x | - y 2 x 2 = C 1

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

2 ln ⁡ | x | - y 2 x 2 = C 1

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