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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 40

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

y   d x + x ( ln ⁡ x - ln ⁡ y - 1 ) d y = 0 ;     y 1 = e

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos resolver essa equação aí!

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Bom, olhando pra nossa equação...

y   d x + x ( ln ⁡ x - ln ⁡ y - 1 ) d y = 0

Vemos que a parte M ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição x = v y .

Passo 2

Vamos lá, se x = v y , temos d x = v   d y + y   d v . Vamos substituir isso na nossa equação então...

y   d x + x ( ln ⁡ x - ln ⁡ y - 1 ) d y = 0

y v   d y + y   d v + v y ln ⁡ v y - ln ⁡ y - 1 d y = 0

y v   d y + y 2 d v + v y   ln ⁡ v + ln ⁡ y - ln ⁡ y - 1 d y = 0

y v   d y + y 2 d v + v y ln ⁡ v   d y - v y d y = 0

y 2 d v + v y ln ⁡ v d y = 0

y   d v + v ln ⁡ v   d y = 0

y   d v = - v ln ⁡ v   d y

d v v ln ⁡ v = - d y y

Temos uma EDO separável agora, só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d v v ln ⁡ v   = ∫ - d y y

ln ⁡ | ln ⁡ v | = - ln ⁡ y + C

ln ⁡ y ln ⁡ v = C

y ln ⁡ v = c 1

E como x = v y → v = x y , temos:

y ln ⁡ x y = c 1

Beleza! Achamos nossa solução geral, agora vamos encontrar esse c 1 para resolver o problema de valor inicial...

Passo 4

A questão nos deu que y 1 = e , então vamos substituir isso na equação...

y ln ⁡ x y = c 1

e ln ⁡ 1 e = c 1

e ln ⁡ 1 - ln ⁡ e = c 1

e 0 - 1 = c 1

c 1 = - e

Então a solução para o problema inicial é:

y ln ⁡ x y = - e

Prontinho! 😉

Resposta

y ln ⁡ x y = - e

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Suponha que M x , y d x + N x , y d y = 0 seja uma equação homogênea. Mostre que a substituição x = r cos ⁡ θ ,y = r sen ⁡ θ transforma a equação separável.