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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 25

A equação diferencial y ' ' - 2 x y + 2 n y = 0 é conhecida como equação de Hermite. Quando n ≥ 0 é um inteiro, a equação de Hermite apresenta solução polinomial. Os polinômios de Hermite têm alguma importância no estudo de mecânica quântica. Obtenha as soluções polinomiais correspondentes a n = 1 e n = 2 .

Passo 1

E aí, beleza?

Vamos lá pra mais uma

Temos a equação diferencial y ' ' - 2 x y + 2 n y = 0 , que tem essas duas soluções em séries de potências:

y 1 = 1 + ∑ k = 1 ∞ - 1 k 2 k n . n - 2 … ( n - 2 k + 2 ) 2 k ! x 2 k

y 2 = x + ∑ k = 1 ∞ - 1 k 2 k n - 1 ( n - 3 ) … ( n - 2 k + 1 ) 2 k + 1 ! x 2 k + 1

E aí queremos saber os valores dessas soluções para n = 1 e n = 2 , então vamos substituir beleza?

Passo 2

Vamos começar substituindo n = 1 em

y 2 = x + ∑ k = 1 ∞ - 1 k 2 k n - 1 ( n - 3 ) … ( n - 2 k + 1 ) 2 k + 1 ! x 2 k + 1

Aí temos

y 2 = x + ∑ k = 1 ∞ - 1 k 2 k 1 - 1 ( 1 - 3 ) … ( 1 - 2 k + 1 ) 2 k + 1 ! x 2 k + 1

y 2 = x + ∑ k = 1 ∞ - 1 k 0 2 k + 1 ! x 2 k + 1

Então temos:

y = x

Agora vamos substituir n = 2 em

y 1 = 1 + ∑ k = 1 ∞ - 1 k 2 k n . n - 2 … ( n - 2 k + 2 ) 2 k ! x 2 k

Aí temos:

y 1 = 1 + ∑ k = 1 ∞ - 1 k 2 k . 2 . 2 - 2 … ( 2 - 2 k + 2 ) 2 k ! x 2 k

y 1 = 1 + ∑ k = 1 ∞ - 1 k 0 2 k ! x 2 k

Então:

y = 1

Resposta

n = 1 → y = x

n = 2 → y = 1

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