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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 26

Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes).

y ' + 2 x y = 1 ;     y = e - x 2 ∫ 0 x e t 2   d t + c 1 e - x 2

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, a gente quer saber se   y = e - x 2 ∫ 0 x e t 2   d t + c 1 e - x 2   é solução da equação y ' + 2 x y = 1     . Para saber isso, a gente tem que substituir os termos da equação e ver se temos uma igualdade verdadeira.

A gente tem y e precisamos descobrir y ' . Essa y não tá nada bonitinha né? Mas fique calmo que a gente consegue. Vem comigo!

Passo 2

y = e - x 2 ∫ 0 x e t 2   d t + c 1 e - x 2

Pra derivar isso, a gente vai precisar usar a regra do produto e o teorema fundamental do cálculo. Primeiro vamos montar a derivada:

y ' = e - x 2 ' ∫ 0 x e t 2 d t + e - x 2 ∫ 0 x e t 2 d t ' + c 1 e - x 2 '

Agora a gente resolve essas derivadas:

y ' =   - 2 x e - x 2 ∫ 0 x e t 2   d t + e - x 2 e x 2 - 2 c 1 x e - x 2

y ' = - 2 x e - x 2 ∫ 0 x e t 2   d t + 1 - 2 c 1 x e - x 2

Passo 3

Beleza, agora que temos y   e   y ' , vamos substituir na equação:

y ' + 2 x y = 1

- 2 x e - x 2 ∫ 0 x e t 2   d t + 1 - 2 c 1 x e - x 2 + 2 x e - x 2 ∫ 0 x e t 2   d t + c 1 e - x 2 = 1

- 2 x e - x 2 ∫ 0 x e t 2   d t + 1 - 2 c 1 x e - x 2 + 2 x e - x 2 ∫ 0 x e t 2   d t + 2 x c 1 e - x 2 = 1

1 = 1

Encontramos uma igualdade verdadeira, então a função dada é solução da equação! 😉

Resposta

É solução.

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Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). y ' - 1 x y = 1 ; y = x ln ⁡ x , x0
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). d P d t = P a - b P ; P = a c 1 e a t 1 + b c 1 e a t
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). d X d t = 2 - X 1 - X ; ln ⁡ 2 - X 1 - X = t
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). x 2 + y 2 d x + x 2 - x y d y = 0 ;c 1 x + y 2 = x e y x