Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c₁ e c₂ são constantes).

dP/dt = P(a - bP); P = a * c1 / (1 + b * c1 * e^(at))

Passo 1

E aí, tudo joia?

Essa daí tá feia hein? Bom, mas olha só: o d P d t nos mostra que isso é uma função e P   e   t , então as outras letrinhas a gente considera tudo constante, beleza?

Bom, a gente quer saber se   P = a c 1 e a t 1 + b c 1 e a t   é solução da equação d P d t = P a - b P     . Para saber isso, a gente tem que substituir os termos da equação e ver se temos uma igualdade verdadeira.

Vamos derivar P em relação a t para encontrarmos d P d t ...

Passo 2

Derivando...

d P d t =   a 2 c 1 e a t ⋅ ( 1 + b c 1 e a t ) - a c 1 e a t a b c 1 e a t 1 + b c 1 e a t 2

Vamos escrever assim:

d P d t = a c 1 e a t 1 + b c 1 e a t ⋅ [ a 1 + b c 1 e a t - a b c 1 e a t ] 1 + b c 1 e a t  

E como P = a c 1 e a t 1 + b c 1 e a t , podemos escrever:

d P d t = P ( a - b P )

Que coincide com a nossa equação do início! Ou seja, a função é uma solução! 😉

Resposta

É solução.

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