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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 10

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

x 3 + y 3 d x + 3 x y 2 d y = 0

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, para que uma equação seja exata, precisamos que:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Vamos ver isso na nossa então. Lembrando que M é a parte que acompanha o d x e N o que acompanha o d y .

Passo 2

Na nossa temos:

∂ M ∂ y = 3 y 2

∂ N ∂ x = 3 y 2

A equação então é exata! Vamos resolver...

Passo 3

Seguindo o esquema de resolver equações exatas, a primeira coisa que a gente faz é integrar M ( x , y ) em relação a x . Então bora!

∫ x 3 + y 3   d x

x 4 4 + x y 3 + g y               ( * )

(Não pode esquecer de somar essa função de y aí hein!)

Beleza, agora a gente vai derivar isso em relação a y :

3 x y 2 + g ' ( y )

E agora a gente compara isso com N ( x , y ) :

3 x y 2 = 3 x y 2 + g ' y

g ' y = 0

Então, a gente tem que g y = 0 .

(a constante a gente vai colocar ali no final)

Passo 4

Beleza, agora já encontramos g ( y ) , vamos substituir lá em ( * ) e escrever da forma certinha, igualando a uma constante:

x 4 4 + x y 3 + g y              

x 4 4 + x y 3 = c              

E assim chegamos à solução da equação!

Resposta

É exata.

Solução :   x 4 4 + x y 3 = c              

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