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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 4

Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução.

2 x y 2 + 2 y + 2 x 2 y + 2 x y ' = 0

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Caso nossa equação seja exata, então vamos adotar uma estratégia definida no decorrer de nosso exercício e bem explicada...

Passo 2

Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.

Vamos reescrever nosso problema como

2 x 2 y + 2 x d y d x = - ( 2 x y 2 + 2 y )

Assim usando a ideia de variáveis separáveis

2 x y 2 + 2 y d x + 2 x 2 y + 2 x d y = 0

Assim temos que

d d y 2 x y 2 + 2 y - d d x 2 x 2 y + 2 x = 4 x y + 2 - ( 4 x y + 2 ) = 0

E nossa solução é exata

Passo 3

Agora queremos achar quem é nossa função potencial

Imagine que tenhamos uma função Y ( x , y ) , que quando derivamos em cada direção teremos

d d x Y x , y = ( 2 x y 2 + 2 y )

E

d d y Y x , y = ( 2 x 2 y + 2 x )

Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação

∫ d d x Y x , y d x = ∫ 2 x y 2 + 2 y d x

A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.

A integral da direita é tranquila, certo? Assim

Y x , y = x 2 y 2 + 2 x y + C ( y )

Se derivarmos, deveríamos obter ( 2 x 2 y + 2 x ) , ou seja

d d y Y x , y = d d y x 2 y 2 + 2 x y + C ( y ) = 2 x 2 y + 2 x + C ' y = ( 2 x 2 y + 2 x )

Com

C ' y = 0

E a pergunta é, quanto vale C ( y ) ? Basta integrar, não? Assim teremos

C y = C

O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é

Y x , y = x 2 y 2 + 2 x y + C

Resposta

Y x , y = x 2 y 2 + 2 x y + C

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Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. b )2 x yd x + x 2 d y
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. i )- y x 2 + y 2d x + x x 2 + y 2 d y ,x , y ∈ Ω , onde Ω é o conjunto x , y ∈ R 2 y0 ∪ { x , y ∈ R 2 | x0 }
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4 ) Determine u (x, y), que só dependa de x, tal que ( x 3+x+y )u( x ,y )d x- x u( x ,y )d y seja exata