4 ) Determine u (x, y), que só dependa de x, tal que

(x^3 + x + y) * u(x, y) * dx - x * u(x, y) * dy

seja exata

Passo 1

Bem para um campo ser conservativo precisa que duas coisas aconteçam

∇ ϕ = F

∇ × F = 0

Ou seja existe uma função potencial primitiva para F. E que a função F é independente de caminho, logo seu rotacional é nulo. Calculamos no exercício anterior que

∂ u ∂ y P - ∂ u ∂ x Q = u ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Então vamos usar isso

Passo 2

Se temos que

u x

OU seja não depende de y, logo

∂ u ∂ y = 0

Isso facilita um pouco nossa vida, deixando a relação de cima como

- ∂ u ∂ x Q = u ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Vamos então substituir os valores e integrar

Passo 3

- ∂ u ∂ x - x = u ∂ - x ∂ x - ∂ x 3   +   x   +   y ∂ y

- ∂ u ∂ x - x = - 2 u

- 1 2 u d u = 1 x d x

Integrando temos que

- 1 2 ln ⁡ u = ln ⁡ x

Teoricamente teríamos que acrescentar uma constante arbitraria, mas podemos arbitrar que ela seja nula

C = 0

Assim nossa função final fica

u - 1 2 = x

u = x - 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

u = x - 2

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