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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 4

4 ) Determine u (x, y), que só dependa de x, tal que

( x 3   +   x   +   y )   u   ( x ,   y )   d x   - x u   ( x ,   y )   d y

seja exata

Passo 1

Bem para um campo ser conservativo precisa que duas coisas aconteçam

∇ ϕ = F

∇ × F = 0

Ou seja existe uma função potencial primitiva para F. E que a função F é independente de caminho, logo seu rotacional é nulo. Calculamos no exercício anterior que

∂ u ∂ y P - ∂ u ∂ x Q = u ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Então vamos usar isso

Passo 2

Se temos que

u x

OU seja não depende de y, logo

∂ u ∂ y = 0

Isso facilita um pouco nossa vida, deixando a relação de cima como

- ∂ u ∂ x Q = u ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Vamos então substituir os valores e integrar

Passo 3

- ∂ u ∂ x - x = u ∂ - x ∂ x - ∂ x 3   +   x   +   y ∂ y

- ∂ u ∂ x - x = - 2 u

- 1 2 u d u = 1 x d x

Integrando temos que

- 1 2 ln ⁡ u = ln ⁡ x

Teoricamente teríamos que acrescentar uma constante arbitraria, mas podemos arbitrar que ela seja nula

C = 0

Assim nossa função final fica

u - 1 2 = x

u = x - 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

u = x - 2

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d y d x = e - x cos ⁡ y - e 2 y cos ⁡ x - e - x s e ny + 2 e 2 y s e nx
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. e )( x + y )d x + ( y - x ) d y
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. xd x + yd y + zd z
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. h )- y x 2 + y 2d x + x x 2 + y 2 d y ,y0
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. f ) e x 2 + y 2 xd x + yd y