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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 5

Nos Problemas 1-6, use o método de Picard para encontrar y 1 ,   y 2 ,   y 3   ,   y 4 . Determine o limite da sequência { y n x } quando n → ∞ .

y ' + y 2 = 0 ,     y 0 = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, a gente tem essa equação aqui:

y ' + y 2 = 0

y ' = - y 2

E a gente vai usar o método de Picard para encontrar as funções pedidas.

A questão nos deu y 0 = 0 , então temos x 0 = 0 , y 0 = 0 e f t ,   y n - 1 t =   - y n - 1 t 2 .

Lembrando que a fórmula de Picard é:

y n x = y 0 + ∫ 0 x   f t ,   y n - 1 t   d t  

Passo 2

Então vamos por partes...

Primeiro vamos encontrar y 1 :

y 1 = 0 + ∫ 0 x - ( 0 2 ) d t

y 1 = ∫ 0 x 0   d t

y 1 = 0 0 x

y 1 = 0

Beleza, encontramos y 1 , vamos seguir...

Passo 3

Agora y 2 :

y 2 = 0 + ∫ 0 x - 0 2 d t

y 2 = 0 0 x

y 2 = 0

Beleza, mais um!

Passo 4

Agora y 3 , vamos lá...

y 3 = 0 + ∫ 0 x - 0 2 d t

y 3 = 0 2 0 x

y 3 = 0

Opa! Mais uma igual a zero!

Passo 5

E agora vamos encontrar y 4 :

y 4 = 0 + ∫ 0 x - 0 2 d t

y 4 = 0 2 0 x

y 4 = 0

E deu tudo zero!

Passo 6

Agora só falta ver o limite da sequência quando n → ∞ .

Bom, se todas as funções deram zero, o limite quando n → ∞ também vai ser zero!

Então o limite de y n quando n → ∞ é   0 .

Terminamos! 😉

Resposta

y 1 = 0

y 2 = 0

y 3 = 0

y 4 = 0

n → ∞   : 0

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